En närmare titt på Rotrektanglar
Observera: Mitt perspektiv fokuserar på estetisk inspiration, praktiskt tillvägagångssätt och teoretiska implikationer i verkliga livet snarare än matematisk noggrannhet.
Vad är roten till rotrektanglar?
- Ursprunget till rotrektanglar är troligen geometrin, som bokstavligt talat betyder att mäta jorden.
- Försök att se rotrektanglar som en yta mer än längden på en linje.
- Rotrektanglar kan ses som ett matematiskt sätt att beskriva hur en yta (ett tvådimensionellt område) relaterar till en linje (en dimension).
I exemplen nedan använder jag enkla geometriska figurer och diagonaler för att visa sambanden mellan olika grundformer och rotrektanglar.
Pythagoras sats
Låt oss titta närmare på Pythagoras sats. Kvadratytan av hypotenusan är lika med summan av motstående kvadratyta plus angränsande kvadratyta.
Eller ett annat sätt att uttrycka det:
Arean av den lutande kvadraten (c²) = summan av de andra kvadratytorna (a² + b²)
Exempel: Låt säga att arean av a = 1 och b = 1
då blir arean av c
c2 = 12 + 12
c = √2
Detta är den välkända Pythagoras satsen.
Se en interaktiv demonstration av Pythagoras sats.
Rotrektanglar
I exemplet nedan använder jag diagonaler för att visa sambandet mellan rotrektanglar och en enkel kvadrat. Det förklarar hur rotrektanglar uppnås genom att använda en startkvadrat med enhetshöjd- och bredd på 1.
Egenskaper av rotrektanglar
| Form | Förhållande | Kommentar |
 |
1 : 1 | En enkel kvadrat |
|
1 : √2 | DIN-format (europeiskt pappersformat), A1, A2, A3, A4, åttapunktad stjärna eller oktogon. |
|
1 : √3 | Liksidig triangel, sexkant, tetraeder |
|
1 : √4 | Enkelt uttryckt, 2 kvadrater |
|
1 : √5 | Relaterad till "det gyllene snittet" och pentagrammet eller pentagonen. |
En närmare titt på 1:√2
1 relaterar till √2 som (√2 / 2) relaterar till 1.
Bilden nedan visar ett mer komplext sätt att dela en rektangel med roten ur 2.
Förhållandet 1 till √2 används i A-pappersformatet (ISO 216 eller DIN 476) på grund av dess egenskaper där denna rektangel, den längsta sidan skuren på hälften, har samma förhållande som den större rektangeln.
Europeiskt pappersformat (ISO 216 eller DIN 476).
√2 rektangel i förhållande till oktogonen.
En närmare titt på 1:√3
En rektangel med föhållandet 1 till roten ur 3 är helt enkelt hälften av en liksidig triangel.
En rektangel med roten ur 3 inskriven i en hexagon.
En mer komplex indelning av en rektangel med förhållandet 1 till roten ur 3 inskriven i en enhetscirkel med en radie på 1.
Vesica piscis, två enhetscirklar med radien 1, som skär varandra på ett sådant sätt att varje cirkels centrum ligger på den andras omkrets.
En mer komplex indelning av en liksidig triangel inskriven i en cirkel.
En närmare titt på 1:√5
Det intressanta med detta irrationella tal 1,618 och 0,618 är att enheten 1 relaterar till 0,618 som 1,618 till 1. I antikens Grekland kallades detta förhållande för "phi" eller "φ". Detta förhållande var även känt som att dela en linje i det yttersta och medelstora förhållandet. I mer allmänna termer kallas detta förhållande också för "det gyllene snittet", "gyllene ratio", "gyllene sektionen", "gyllene talet" eller "den gudomliga proportionen".
Det gyllene snittet
Vi kan också hitta detta "gyllene" tal i ett pentagram inneslutet i en pentagon. Det gyllene pentagrammet.
Här är en annan bild som visar det irrationella talet 1,618 eller 0,618 i relation till √5.
En triangel innesluten i en cirkel.
Från studien av phyllotaxis och den relaterade Fibonacci-sekvensen (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, osv.)
Vad är roten till rotrektanglar
Jag tror att sanningen bakom rotrektanglar är ganska enkel, behovet av att ha ett system för att mäta marken vid byggande av stora strukturer (t.ex. byggnader). De enda verktyg som behövs för att konstruera rotrektanglar är att sätta en pinne i marken med ett snöre fäst vid den. Med dessa enkla verktyg kan en person rita cirklar, räta vinklar, kvadrater och diagonaler. Baserat på nummer ett (kan vara vilken skala som helst) är diagonaler i dessa kvadrater vad vi kallar rotrektanglar. Ett nyckelord för mig var att tänka på ytor, närmare bestämt kvadratytor, när man uttrcker frågan "Vad är kvadratroten ur...?".
Alla figurer jag har gjort ovan kan göras med mycket enkla verktyg, en pinne och ett snöre. Utifrån detta kanske man kan man dra slutsatsen om enkelheten och skönheten i rotrektanglar. Varför är det vackert? Personligen tror jag det är för att det är organiserad dynamisk symmetri, inte olikt naturen själv.
© Hans E Andersson